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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
11.
Sean $\vec{u}=(1,2,-3), \vec{v}=(-1,5,2), \vec{w}=(1,2,4)$ y $\vec{z}=(2,-4,8)$. Hallar en $\mathbb{R}^{3}$:
c) un vector de norma 2 que sea, simultáneamente, ortogonal a $\vec{w}$ y $\vec{z}$. ¿Es único?
c) un vector de norma 2 que sea, simultáneamente, ortogonal a $\vec{w}$ y $\vec{z}$. ¿Es único?
Respuesta
Del ítem anterior sabemos que todos los vectores de la forma
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$k \cdot (32,0,-8)$ con $k \in \mathbb{R}$
son ortogonales tanto a $\vec{w}$ como a $\vec{z}$.
Pero en este ítem no queremos todos, queremos encontrar uno de norma $2$.
Fijate primero que, como las coordenadas del vector que estamos multiplicando por $k$ son todos múltiplos de $8$, también podríamos reescribir esto así (para que nos queden números más chicos y quizás hacer un poco más amigables las cuentas)
$k \cdot (4,0,-1)$ con $k \in \mathbb{R}$
¿Te das cuenta que es lo mismo? Estamos describiendo al mismo conjunto de vectores.
Además, esto lo podemos reescribir así:
$k \cdot (4,0,-1) = (4k, 0, -k)$
Ahora le calculamos la norma a este vector, pedimos que el resultado sea $2$ y despejamos para qué valor (o valores) de $k$ se cumple:
$|| (4k, 0, -k) || = \sqrt{(4k)^2 + (-k)^2} = \sqrt{16k^2 + k^2} = \sqrt{17k^2} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{k^2} = \sqrt{17} \cdot |k|$
Pedimos que este resultado sea $2$
$\sqrt{17} \cdot |k| = 2$
$|k| = \frac{2}{\sqrt{17}}$
Es decir, si $k = \frac{2}{\sqrt{17}}$ o si $k = -\frac{2}{\sqrt{17}}$, el vector que queremos tiene exactamente norma $2$.
Voy a elegir $k = \frac{2}{\sqrt{17}}$ y reemplazando me queda...
$k \cdot (4,0,-1) = \frac{2}{\sqrt{17}} \cdot (4,0,-1) = \left(\frac{8}{\sqrt{17}}, 0, \frac{-2}{\sqrt{17}}\right)$
Por lo tanto, el vector $\left(\frac{8}{\sqrt{17}}, 0, \frac{-2}{\sqrt{17}}\right)$ es ortogonal tanto a $\vec{w}$ como a $\vec{z}$ y además tiene norma $2$.
Como vimos recién, no es el único, este otro $\left(-\frac{8}{\sqrt{17}}, 0, \frac{2}{\sqrt{17}}\right)$ también cumple lo pedido.
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